Случайная величина: ожидание и дисперсия

10–11 класссредне

Случайная величина

Таблица распределения и её столбцы: недостающая вероятность — то, чего не хватает до 1; математическое ожидание — точка, где столбцы уравновешиваются; дисперсия — $E(X^2) - E(X)^2$ . Вероятность события по таблице, ожидание и дисперсия величины $aX + b$ , число успехов в $n$ испытаниях: $E = np$ , $D = npq$ .

ЕГЭ профильслучайная величинаматематическое ожиданиедисперсияраспределениесхема Бернулли

Тренировать: Случайная величина

Пример

Случайная величина X задана таблицей распределения. Найдите вероятность того, что X примет значение меньше 3.

$\begin{array}{c|c|c|c|c} X & -1 & 3 & 7 & 8 \\ \hline P & 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}25 & 0{,}05 \end{array}$

Решение

Попробуйте решить сами, потом откройте решение — по шагу или сразу.

Теория

Закон распределения

Таблица значений $x_i$ случайной величины и их вероятностей $p_i$ ; сумма всех $p_i$ равна 1.

Числовые характеристики

Математическое ожидание $E(X) = \sum x_ip_i$ — среднее значение при многих повторениях опыта.
Дисперсия $D(X) = E\big((X - E(X))^2\big) = E(X^2) - E(X)^2$ .
Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{D(X)}$ .

Свойства

$E(aX + b) = aE(X) + b$ , $D(aX + b) = a^2D(X)$ .
$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ всегда; $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ — для независимых величин.

Схема Бернулли

$n$ независимых испытаний с вероятностью успеха $p$ в каждом, $q = 1 - p$ . Вероятность ровно $k$ успехов $P_n(k) = C_n^kp^kq^{n - k}$ ; число успехов имеет $E = np$ и $D = npq$ .

Частые ошибки

В $D(aX + b)$ прибавляют $b$ или умножают на $a$ вместо $a^2$ .
Не проверяют, что вероятности в таблице дают в сумме 1.