Числа и их свойства: а), б), в)

10–11 класссложно

Числа и их свойства

Последняя задача профильного ЕГЭ в три пункта: а) и б) — может ли быть так, с примером или оценкой, в) — наибольшее значение. Различные натуральные числа с данной суммой, числа двух видов с данной суммой, последовательные натуральные числа с данной суммой. Ответ на каждый пункт проверяется сразу: да, нет, число; полное решение по критериям — у репетитора.

ЕГЭ профильЕГЭ профильчисла и их свойстваоценка и примерперебор

Тренировать: Числа и их свойства: а), б), в) (ЕГЭ профиль, часть 2)Тренировать: Числа и их свойства: письма, кино и театр (ЕГЭ профиль, часть 2)

Тип задач

Пример

На доске написано несколько чисел, каждое из которых равно 2 или 5. Их сумма равна 103. а) Может ли на доске быть ровно 47 чисел? б) Может ли на доске быть ровно 52 числа? в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

Решение

Попробуйте решить сами, потом откройте решение — по шагу или сразу.

Теория

Может ли быть так

«Да» доказывают примером: выпишите числа и проверьте условие.
«Нет» — оценкой: $k$ различных натуральных чисел дают в сумме не меньше $1 + 2 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}$ .

Наибольшее значение

Две части: оценка — больше нельзя, и пример — столько можно. Без примера оценка не ответ.
Письма: если девушки получили попарно различное число писем, их не меньше $0 + 1 + \ldots + (n - 1)$ — а юноши написали не больше, чем когда меньше всего пишущих мало.
Кино и театр: мальчикам выгодно ходить в одно место, девочкам — в оба, тогда каждая девочка «разрешает» мальчиков и там, и там.
Числа двух видов: $Ax + By = S$ — переберите одно из неизвестных; чисел больше всего, когда больше маленьких.
$k$ последовательных чисел от $f$ : $S = kf + \frac{k(k-1)}{2}$ , и $f$ должно быть натуральным.

Частые ошибки

Дают пример без проверки, что числа различны.
В пункте в) находят значение, но не доказывают, что больше нельзя.

Числа и их свойства: а), б), в)

Теория

Может ли быть так

Наибольшее значение

Частые ошибки

Смежные темы