Locus
Locus
← Каталог задач

Числа и их свойства: делимость и цифры

6–11 класссредне

Числа и их свойства

Найти число по его цифрам: кратное 15 с суммой цифр 21, записанное только двойками и нулями, оставшееся после вычеркнутых цифр. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 25 и их сочетания — на 6, 12, 15, 18, 36, 45; подходит любое число с нужными свойствами, а не одно.

ЕГЭ базапризнаки делимостицифры числаделимостькратноесумма цифр
Тренировать: Числа и их свойства

Пример

Найдите пятизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 5 и делится на 45. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение

Попробуйте решить сами, потом откройте решение — по шагу или сразу.

Теория

Признаки делимости

  • На 2 — последняя цифра чётная; на 5 — последняя цифра 0 или 5; на 10 — последняя цифра 0.
  • На 4 — число из двух последних цифр делится на 4; на 25 — две последние цифры 00, 25, 50 или 75; на 8 — число из трёх последних цифр делится на 8.
  • На 3 — сумма цифр делится на 3; на 9 — сумма цифр делится на 9.
  • Составные делители — по взаимно простым множителям: 6=2⋅36 = 2 \cdot 3, 12=3⋅412 = 3 \cdot 4, 15=3⋅515 = 3 \cdot 5, 18=2⋅918 = 2 \cdot 9, 36=4⋅936 = 4 \cdot 9, 45=5⋅945 = 5 \cdot 9.

Как искать число

  • Начните с условия, которое сильнее всего ограничивает: последние цифры — по делимости на 4, 5, 25.
  • Затем подберите остальные цифры под сумму или произведение: сумма цифр задаёт и делимость на 3 и 9.
  • Проверьте все условия на найденном числе — подходит любое такое число, не обязательно наименьшее.

Частые ошибки

  • Проверяют делимость на 12 как на 2 и 6 — а 22 и 66 не взаимно просты: 1818 делится на них, но не на 12.
  • Забывают, что первая цифра не может быть нулём.
  • Вычёркивая цифры, меняют порядок оставшихся.

Смежные темы