Дроби: части целого и точки на прямой

Что такое дробь

В дроби $\frac{m}{n}$ целое делят на $n$ равных частей — это знаменатель — и берут $m$ таких частей — это числитель. Дробь — ещё и деление: $\frac{m}{n} = m : n$.

Основное свойство

Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, дробь не изменится: $\frac{a}{b} = \frac{ak}{bk}$. На этом держатся сокращение — $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$, делим на общий делитель 6 — и приведение к общему знаменателю.

Виды записи

• Правильная дробь меньше 1 (числитель меньше знаменателя), неправильная — не меньше 1.
• Смешанное число: $2\frac34 = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$.
• Десятичная дробь — знаменатель $10, 100, 1000, \dots$: $0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac34$.
• Конечной десятичной дробью записывается та дробь, у которой в знаменателе после сокращения только множители 2 и 5: $\frac{3}{8} = 0{,}375$, а $\frac13 = 0{,}333\dots$ — нет.

Сравнение

• При одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой больше числитель.
• При одинаковых числителях больше та, у которой меньше знаменатель: $\frac{3}{5} > \frac{3}{7}$.
• Иначе — приведите к общему знаменателю или переведите в десятичные.

На координатной прямой

Чтобы отметить $\frac{m}{n}$, единичный отрезок делят на $n$ равных частей и отсчитывают от нуля $m$ таких частей. Равные дроби — одна и та же точка.

Частые ошибки

• Складывают знаменатели: $\frac12 + \frac13 \ne \frac25$.
• Сокращают слагаемые, а сокращать можно только множители: $\frac{2 + 3}{2} \ne 3$.