Параметр: сколько решений

10–11 класссложно

Уравнения

Задача с параметром второй части профильного ЕГЭ: при каких $a$ уравнение имеет ровно столько решений. Модуль квадратного трёхчлена от $|x|$ против прямой $y = a$ — число решений меняется в нуле, на высоте «горба» и на уровне $y(0)$ ; корни $a + s$ и $a + t$ квадратного уравнения на отрезке — ровно один, оба, хотя бы один. Ответ — значения $a$ промежутками, проверяется сразу.

ЕГЭ профильпараметрЕГЭ профильчисло решениймодульквадратное уравнение

Тренировать: Параметр: число решений (ЕГЭ профиль, часть 2)Тренировать: Параметр: корни с ОДЗ и системы с |x| + |y| (ЕГЭ профиль, часть 2)

Тип задач

Пример

Найдите все значения a, при каждом из которых данное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [2; 8]. Ответ запишите промежутками.

$\displaystyle x^2 - (2a - 2)x + a^2 - 2a - 3 = 0$

Решение

Попробуйте решить сами, потом откройте решение — по шагу или сразу.

Теория

Графический способ

Уравнение $f(x) = a$ имеет столько решений, сколько раз прямая $y = a$ пересекает график $y = f(x)$ .
Отметьте критические значения $a$ : нули, вершины, значения в особых точках. Между ними число решений не меняется.
$y = |g(|x|)|$ симметричен относительно оси $Oy$ : решения парами $\pm x$ , а $x = 0$ — одно.

Окружность и прямая

Система $(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2$ , $y = kx + a$ : решений столько, сколько общих точек у окружности и прямой.
Расстояние от центра до прямой $kx - y + a = 0$ : $d = \frac{|kp - q + a|}{\sqrt{1 + k^2}}$ . Два решения при $d < r$ , одно при $d = r$ (касание), ни одного при $d > r$ .
Концы ответа — с корнем: $a = q - kp \pm r\sqrt{1 + k^2}$ . Набирают так: 2 − 3√2.

Произведение равно нулю при ОДЗ

$f(x) \cdot \sqrt{x - b} = 0$ : либо $x = b$ , либо $f(x) = 0$ — но корень $f$ годится только при $x \ge b$ .
С логарифмом $\ln(x - b) = 0$ даёт $x = b + 1$ , а ОДЗ строже: $x > b$ .
Критические значения $a$ — где корень $f$ выходит из ОДЗ и где корни совпадают: тогда их на один меньше.

Системы с квадратом

$|x| + |y| = c$ — квадрат с вершинами $(\pm c;\ 0)$ и $(0;\ \pm c)$ .
Окружность $x^2 + y^2 = a$ касается его сторон при $a = \frac{c^2}{2}$ и проходит через вершины при $a = c^2$ .
Парабола $y = x^2 + a$ : касание стороны — дискриминант уравнения на этой стороне равен нулю; проверьте, что точка касания на самой стороне, а не на её продолжении.

Корни на отрезке

Если трёхчлен раскладывается — $x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a = (x - a)(x - a - 1)$ , — корни известны: $a$ и $a + 1$ .
Условие «корень на отрезке $[p;\ q]$ » — двойное неравенство на $a$ .
Ровно один корень — выполнено ровно одно из условий; два — оба; хотя бы один — их объединение.

Частые ошибки

Теряют критическое значение: в точке, где прямая касается вершины, решений на одно меньше.
Путают круглые и квадратные скобки на концах: проверяйте само критическое значение отдельно.