Показательные и логарифмические неравенства

10–11 класссложно

Уравнения

Неравенство второй части профильного ЕГЭ. Показательные — квадратные и дробные относительно $t = a^x$ : корень $t \le 0$ отбрасывается, потому что $a^x > 0$ . Логарифмические — логарифм квадратного трёхчлена против числа, квадратное относительно $\log_a x$ , сумма логарифмов: ответ решает ОДЗ, а основание меньше 1 меняет знак. Ответ записывается промежутками и проверяется сразу.

ЕГЭ профильнеравенствапоказательные неравенствалогарифмические неравенстваОДЗЕГЭ профиль

Тренировать: Показательные неравенства (ЕГЭ профиль, часть 2)Тренировать: Логарифмические неравенства (ЕГЭ профиль, часть 2)

Тип задач

Пример

Решите неравенство. Ответ запишите промежутками.

$\displaystyle 2^{2x} - 9 \cdot 2^x + 8 < 0$

Решение

Попробуйте решить сами, потом откройте решение — по шагу или сразу.

Теория

Показательные: замена

Видите $a^{2x}$ и $a^x$ — замените $t = a^x$ : $4^x = t^2$ , $2^{2x+1} = 2t^2$ , $2^{x+3} = 8t$ .
Помните, что $t > 0$ : корень $t \le 0$ отбрасывается, и множитель $(t + 3)$ на знак не влияет.
Вернитесь к $x$ : при $a > 1$ функция $a^x$ возрастает, знак неравенства сохраняется — $2^x \le 8 \Leftrightarrow x \le 3$ .

Логарифмические: ОДЗ и основание

Сначала ОДЗ: под логарифмом — только положительное, $\log_2(x - 3)$ требует $x > 3$ .
Число справа запишите логарифмом: $3 = \log_2 8$ , $-2 = \log_{0{,}5} 4$ .
При основании больше 1 знак сохраняется, меньше 1 — меняется: $\log_{0{,}5} f \ge -2 \Leftrightarrow 0 < f \le 4$ .
Сумма логарифмов с одним основанием — логарифм произведения, но только на ОДЗ обоих.

Ответ

Решения на прямой пересеките с ОДЗ: граница ОДЗ в ответ не входит.
Записывайте промежутками: $(-\infty;\ -1] \cup (3;\ 5]$ ; дробь — так: $1/4$ .

Частые ошибки

Забывают ОДЗ и оставляют в ответе точки, где логарифм не определён.
Не меняют знак при основании $0{,}5$ .
Оставляют корень $t < 0$ после замены $t = a^x$ .